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A.1 부록 A — 라플라스·z 변환표
부록 · 참조. 본문에서 필요한 만큼만 다룬 변환을 한곳에 모은다(0.2·1.2·3.1). 외울 것이 아니라 펼쳐 보는 표다.
✅ 검증됨: 라플라스 변환쌍 10개(
sympy)·z-변환쌍 6개(수치 급수합)를verify/test_appendix.py로 대조 확인(전부 PASS, 목차 2).
A.1.1 라플라스 변환 — 주요 성질
ℒ{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^{−st}dt (단측). 초기조건은 $t=0^-$ 기준.
| 성질 | 시간영역 | s영역 |
|---|---|---|
| 선형성 | $a\cdot f + b\cdot g$ | $a\cdot F + b\cdot G$ |
| 1차 미분 | $f'(t)$ | $s\cdot F(s) - f(0)$ |
| 2차 미분 | f″(t) | $s^2F(s) - s\cdot f(0) - f'(0)$ |
| 적분 | $\int_0^t f d\tau$ | $F(s)/s$ |
| 시간 지연 | $f(t-\tau)\cdot u(t-\tau)$ | $e^{-s\tau}\cdot F(s)$ |
| s 이동 | e^{−at}f(t) | $F(s+a)$ |
| 시간 곱(미분) | $t\cdot f(t)$ | $-F'(s)$ |
| 합성곱 | (f∗g)(t) | $F(s)\cdot G(s)$ |
| 초기값 정리 | f(0⁺) | $\lim_{s\to\infty} s\cdot F(s)$ |
| 최종값 정리 | $f(\infty)$ | $\lim_{s\to0} s\cdot F(s)$ (안정할 때만!) |
⚠️ 최종값 정리는 $s\cdot F(s)$의 극이 모두 좌반평면일 때만 유효(1.2.2.4).
A.1.2 라플라스 변환쌍
| $f(t)$ (t≥0) | $F(s)$ |
|---|---|
| $\delta(t)$ (임펄스) | 1 |
| $u(t)$ (단위 계단) | $1/s$ |
| $t$ (램프) | $1/s^2$ |
tⁿ | n!/s^{n+1} |
e^{−at} | $1/(s+a)$ |
| $t\cdot e^{-at}$ | $1/(s+a)^2$ |
1 − e^{−at} | $a/[s(s+a)]$ |
| $\sin\omega t$ | $\omega/(s^2+\omega^2)$ |
| $\cos\omega t$ | $s/(s^2+\omega^2)$ |
| $e^{-at}\sin\omega t$ | $\omega/[(s+a)^2+\omega^2]$ |
| $e^{-at}\cos\omega t$ | $(s+a)/[(s+a)^2+\omega^2]$ |
| 2차 계단응답(저감쇠) | $\omega_n^2/[s(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)]$ |
A.1.3 표준 전달함수 (빠른 참조)
| 형태 | $G(s)$ | 비고 |
|---|---|---|
| 1차 | $K/(\tau s+1)$ | 시정수 τ, DC이득 K (1.2.4·1.3.2) |
| 1차+지연 | $K\cdot e^{-Ls}/(\tau s+1)$ | FOPDT (1.4.4) |
| 2차(표준) | $K\omega_n^2/(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)$ | 고유진동수 ωₙ, 감쇠비 ζ |
| 적분기 | $1/s$ | 형 +1 (1.3.6) |
| PID | $K_p + K_i/s + K_d\cdot s$ | (2.5.3) |
A.1.4 z-변환 — 주요 성질
𝒵{f[k]} = F(z) = Σ_{k=0}^∞ f[k]z^{−k}. 핵심: z^{−1} = 한 표본 지연(3.1.4).
| 성질 | 이산영역 | z영역 |
|---|---|---|
| 선형성 | $a\cdot f + b\cdot g$ | $a\cdot F + b\cdot G$ |
| 시간 지연 | f[k−n] | $z^{-n}\cdot F(z)$ (IC 0) |
| 시간 앞섬 | $f[k+1]$ | $z\cdot F(z) - z\cdot f[0]$ |
| 합성곱 | (f∗g)[k] | $F(z)\cdot G(z)$ |
| 최종값 정리 | $f[\infty]$ | lim_{z→1}(z−1)F(z) (안정할 때만) |
A.1.5 z-변환쌍
| $f[k]$ (k≥0) | $F(z)$ |
|---|---|
| $\delta[k]$ | 1 |
1 (단위 계단) | z/(z−1) = 1/(1−z^{−1}) |
| $k$ | $z/(z-1)^2$ |
aᵏ | z/(z−a) |
| $k\cdot a^k$ | $az/(z-a)^2$ |
| $\sin(\Omega k)$ | $z \sin\Omega/(z^2-2z \cos\Omega+1)$ |
| $\cos(\Omega k)$ | $(z^2-z \cos\Omega)/(z^2-2z \cos\Omega+1)$ |
A.1.6 s ↔ z 대응 (이산화)
| 관계 | 식 | 비고 | ||
|---|---|---|---|---|
| 정확 사상 | z = e^{sT} | 극 매핑(3.1.7) | ||
| 안정 영역 | `Re(s)<0 ⟺ | z | <1` | 좌반평면 ↔ 단위원 안(3.1.6) |
| ZOH 등가 | (1−z^{−1})𝒵{G(s)/s} | 계단응답 일치(3.2.4.1) | ||
| Tustin | s ← (2/T)(z−1)/(z+1) | 안정성 보존(3.2.4.2) | ||
| 전진 오일러 | s ← (z−1)/T | 불안정화 가능 | ||
| 후진 오일러 | s ← (z−1)/(Tz) | 안정 보존 | ||
| 나이퀴스트 주파수 | f_N = 1/(2T) | 위는 에일리어싱(3.2.2) |
부분분수 분해로 역변환: 위 표를 거꾸로 읽어 시간영역으로(1.2.2.4·3.1.8). 자세한 유도는 본문 0.2·3.1, 도구는
sympy(laplace_transform,inverse_laplace_transform).