제6부 심화 주제

6.3 강인 제어 입문

제6부 심화 주제 · 강인성. 모든 모델은 틀리고(1.1.11), LQG는 여유 보장을 잃었다(4.5.7). 강인 제어는 불확실성을 정면으로 다뤄, 공칭 모델 하나가 아니라 플랜트들의 집합 전체에 대해 안정성·성능을 보장한다. 불확실성 모델·민감도 함수·H∞를 진입점 위주로 본다. (BK-03대로 개념 중심 — 강인 제어는 깊은 분야다.)

이 장을 마치면 불확실성을 주파수영역에서 표현하고, 감도 $S$·$T$의 근본 트레이드오프($S+T=1$·워터베드)를 이해하며, H∞ 제어가 "최악을 최소화"하는 발상임을 설명할 수 있어야 한다.

6.3.1 왜 강인 제어 — 모든 모델은 틀리다

지금까지의 설계(극배치·LQR·MPC)는 공칭 모델 하나를 전제했다. 그런데:

• 모델은 근사다(1.1.11): 파라미터는 부정확·변동하고, 고차 동특성·비선형을 생략했다.
• 여유가 보장 안 된다: LQR의 우수한 여유는 LQG(관측기)에서 사라졌다(4.5.7).

강인 제어의 목표: "공칭 모델에서 잘 동작하는 제어기"가 아니라, *"모델이 어느 범위 안에서 틀려도 안정·성능이 유지되는 제어기"를 보장과 함께* 설계한다. 핵심 전환 — 한 플랜트가 아니라 플랜트들의 집합을 상대한다.

6.3.2 불확실성 모델 — 틀림을 수로 적는다

"얼마나 틀릴 수 있나"를 모델링해야 그 범위에 강인하게 설계할 수 있다.

• 파라미터 불확실성(structured): 파라미터가 구간 안(예: 질량 m∈[m_min, m_max]). 물리적이고 구체적.
• 비구조 불확실성(unstructured): 주파수영역 섭동 $\Delta$로 뭉뚱그려 표현. 모델링 안 한 고주파 동특성까지 포괄.
  • 가법(additive): $G + \Delta$. 승법(multiplicative): $G\cdot(1+\Delta)$ (상대 오차).
  • $\Vert\Delta\Vert\infty\le1$로 크기를 한정하고, 가중함수 $W(s)$로 주파수별 불확실성 크기를 표현한다(저주파에는 정확, 고주파에는 큼 — 실제 모델 오차의 전형).

$$\text{실제 플랜트} \in \{\, G(1 + \underbrace{W}_{\text{W가 주파수별 불확실성 크기 결정}} \cdot \Delta) : \|\Delta\|_\infty \le 1 \,\} \quad \leftarrow \text{플랜트들의 '집합'}$$

6.3.3 민감도 함수 — 성능과 강인성의 기준

1.2.6·2.4의 두 함수가 강인 제어의 핵심이다(개루프 $L=CG$):

• $S = 1/(1+L)$ — 감도(sensitivity): 외란·기준→오차. 작을수록 성능↑
• $T = L/(1+L)$ — 상보 감도(complementary): 잡음→출력, 강인성. 작을수록 강인↑
• $S + T = 1$ (항상! — 동시에 둘 다 0으로 못 만든다)
• 성능: 저주파에서 |S| 작게 → 외란 억제·추종(1.2.6).
• 강인성: 고주파에서 |T| 작게 → 잡음·불확실성(고주파에 큼) 견딤.
• 다행히 보통 성능은 저주파, 강인성은 고주파라 주파수가 분리되어 둘 다 어느 정도 가능. 하지만 $S+T=1$이라 교차주파수 근처에서는 충돌한다.

6.3.4 근본 한계 — 워터베드 효과

⚠️ $S+T=1$은 피할 수 없는 제약이다. 게다가 더 깊은 한계가 있다.

보드 감도 적분(Bode sensitivity integral): 개루프가 안정하면

$$\int_0^{\infty} \ln|S(j\omega)|\, d\omega = 0$$ — 우반평면 극이 있으면 양수

의미: |S|<1(외란 억제, 좋음)인 주파수대를 만들면, *반드시 다른 주파수대에서 |S|>1(외란 증폭)이 생긴다 — 물침대(waterbed)를 한쪽 누르면 다른 쪽이 솟듯. 대가 없는 성능은 없다.* 우반평면 극·영점·지연이 있으면 한계가 더 엄격하다(2.3.8의 비최소위상이 여기서 대가를 치른다).

강인 제어의 절반은 이 근본 한계 안에서 성능과 강인성을 어디에 배분할지 의식적으로 고르는 일이다. 한계를 모르면 불가능한 사양을 추구하게 된다 — 정직한 설계의 출발점.

6.3.5 강인 안정성 — 소이득 정리

불확실성 $\Delta$가 있어도 안정한가? 소이득 정리(small gain theorem)가 답의 뼈대다:

안정한 두 시스템 $M$, $\Delta$를 피드백으로 연결했을 때, $\Vert M\Vert\infty\cdot\Vert\Delta\Vert\infty< 1$이면 폐루프가 안정.

승법 불확실성 $G(1+W\Delta)$($\Vert\Delta\Vert\infty\le1$)에 대해 이를 적용하면:

강인 안정 $\iff \|W\cdot T\|_\infty < 1$

즉 불확실성 가중 $W$와 상보 감도 $T$의 곱이 모든 주파수에서 1 미만이면, 그 불확실성 집합 전체에 대해 안정이 보장된다. 불확실성이 큰 주파수(고주파)에서 $T$를 충분히 작게 만들라는 조건 — 6.3.3과 일치한다.

6.3.6 H∞ 제어 — 최악을 최소화

H∞ 제어의 발상: 가중된 폐루프 전달함수의 ∞-노름(주파수에 걸친 최악 이득)을 최소화한다. ∞-노름을 줄이면 최악의 주파수·최악의 입력에서도 성능이 유지된다.

혼합 감도(mixed sensitivity) — 대표 H∞ 문제:

$$\min_{K}\left\|\left[\,\underbrace{W_p\cdot S}_{\text{성능 가중}}\,;\,\underbrace{W_u\cdot K\cdot S}_{\text{노력 가중}}\,;\,\underbrace{W_t\cdot T}_{\text{강인 가중}}\,\right]\right\|_\infty$$

• W_p: 저주파에 큰 가중 → $S$를 저주파에서 누름(성능).
• W_t: 고주파에 큰 가중 → $T$를 고주파에서 누름(강인성).
• W_u: 제어 노력 제한.

이렇게 세 출력($z1,z2,z3$)을 한데 묶어 그 ∞-노름을 최소화하는 $K$를 찾는 것이 혼합 감도 H∞ 문제다 — 6.3.3의 $S,T$가 여기서 각각 성능·강인성 출력에 가중치를 입고 다시 등장한다.

가중함수 $W$를 사양으로 설계하면, H∞ 합성이 그 사양을 최악의 경우까지 만족하는 제어기 $K$를 자동으로 산출한다. "여유를 사후에 확인"(2.4)하던 것을 "강인성을 설계 목표로 직접 넣는" 것으로 바꾼 셈.

6.3.7 루프 셰이핑과 μ (간단히)

• 루프 셰이핑(loop shaping): 개루프 $L(j\omega)$의 모양을 직접 형성한다 — 저주파 고이득(성능)·고주파 저이득(강인성·잡음)·교차주파수 근처 적절한 기울기(여유). 고전적 직관(2.3·2.6)이자 Glover-McFarlane H∞ 루프 셰이핑의 토대.
• μ-합성(structured singular value): 불확실성이 구조적(여러 독립 블록)일 때, H∞보다 덜 보수적인 강인성을 준다. 더 복잡.

6.3.8 도구로 — mixsyn/hinfsyn

# hinf.py — 혼합 감도 H∞ 합성 (개념)
import control as ct
G = ct.tf([1], [1, 0.5, 1])          # 공칭 플랜트
# 가중함수: Wp(성능,저주파↑), Wu(노력), Wt(강인,고주파↑)  — 사양으로 설계
Wp = ct.tf([1, 1], [1, 0.001])       # 예시(저주파 큰 가중)
Wu = ct.tf([1], [1])
Wt = ct.tf([1, 0], [0.001, 1])       # 예시(고주파 큰 가중 — s/(0.001s+1), 고주파에서 이득↑)
# K, CL, info = ct.mixsyn(G, w1=Wp, w2=Wu, w3=Wt)   # 혼합감도 H∞
# ‖[WpS; WuKS; WtT]‖∞ 를 최소화하는 K 반환

가중함수 설계가 곧 사양 설계다 — $W$를 바꿔 성능·강인성 배분을 조절한다. (API·동작은 버전마다 다름 — 여러분 환경에서 확인, 검증 필요. 실제 합성에는 적절한 Wt·정규화 필요.)

6.3.9 정직 — 보수성·차수·모델

• 보수적이다: 강인 제어는 최악을 대비하므로, 보장을 얻는 대신 공칭 성능을 희생한다. 불확실성을 과대평가하면 지나치게 느린 제어기가 나온다.
• 고차 제어기: H∞·μ 제어기는 흔히 플랜트+가중함수만큼 차수가 높다 → 차수 축소(model reduction)가 필요. 구현 부담.
• 불확실성 모델이 관건: $W$ 선택이 결과를 좌우한다. 과소평가하면 강인성 거짓, 과대평가하면 과보수. 이 모델링이 어렵고 주관적이다.
• 근본 한계는 못 넘는다: $S+T=1$·워터베드(6.3.4)는 어떤 기법으로도 피할 수 없다 — 배분만 바꿀 뿐.
• 이 장은 진입점: 수학(노름·LMI·리카티)의 부담이 크다. 깊은 설계는 전문 문헌으로.

6.3.10 정리 — 그리고 다음 장

• 강인 제어는 공칭 하나가 아니라 불확실 플랜트 집합 전체에 안정·성능을 보장한다. 불확실성은 파라미터/비구조(가법·승법 $\Delta$, 가중 $W$)로 모델링(6.3.1·6.3.2).
• 감도 $S$(성능)·상보 감도 $T$(강인성)가 기준, $S+T=1$·워터베드가 근본 한계(6.3.3·6.3.4).
• 강인 안정 ⟺ $\Vert WT\Vert\infty<1$(소이득 정리, 6.3.5). H∞는 가중 폐루프의 ∞-노름(최악)을 최소화해 강인성을 설계 목표로 넣는다(6.3.6).
• 대가는 보수성·고차·불확실성 모델 의존(6.3.9).

다음 6.4에서는 불확실성을 실시간으로 학습·적응하는 적응 제어(MRAC·자기조정)를 진입점 위주로 본다 — 강인 제어가 "최악을 대비"라면, 적응은 "달라지면 맞춰 간다". 제6부를 마무리한다.

6.3.11 연습·생각해 볼 것

1. 불확실성 표현. 질량이 $1\pm0.2 \,\mathrm{kg}$로 변하는 플랜트를 ⓐ 파라미터 불확실성, ⓑ 승법 불확실성 $G(1+W\Delta)$ 중 어느 쪽으로 표현하는 것이 자연스러운가? 고주파 미모델링 동특성은 어느 쪽인가? (6.3.2)
2. S와 T. 저주파에서 $\vert S\vert\approx0.01$, 고주파에서 $\vert T\vert\approx0.01$인 설계가 좋은 이유를 성능·강인성으로 설명하라. 교차주파수 근처에서 둘 다 작게 만들 수 있나? 왜? (6.3.3)
3. 워터베드. 어떤 주파수대에서 외란 억제를 크게 개선(|S|↓)했다. 보드 감도 적분에 따르면 그 대가로 무엇이 생기나? 우반평면 극이 있으면 더 악화되는 이유는? (6.3.4)
4. 강인 안정 조건. 승법 불확실성에서 강인 안정 조건이 $\Vert WT\Vert\infty<1$인 이유를 소이득 정리로 설명하라. 불확실성이 큰 고주파에서 $T$를 어떻게 해야 하나? (6.3.5)
5. H∞ 가중. 혼합 감도에서 W_p를 저주파에서 더 키우면 폐루프가 어떻게 변하나? W_t를 고주파에서 키우면? 가중 설계가 왜 "사양 설계"인가? (6.3.6)
6. 보수성 트레이드오프. 불확실성 범위를 실제보다 크게 설정하면 강인 제어기의 성능은? 작게 설정하면 강인성은? 이 절충을 어떻게 다루겠나? (6.3.9)
7. (생각거리) 4.5.7에서 LQG가 여유를 잃었다. 강인 제어(H∞)는 어떻게 이 문제에 답하는가? 강인 제어 vs 적응 제어(다음 장)는 불확실성에 각각 어떤 태도인가? (6.3.6, 6.4 예고)

막히면 "강인=플랜트 집합에 보장, S 성능·T 강인성·S+T=1, 강인안정 ‖WT‖∞<1, H∞=최악 최소화, 대가 없는 이득은 없음(워터베드)"으로 돌아가라.